若F（ω)=[f（t)]，证明对称性质

若L[f(t)]=F(s),证明(象函数的积分性质)

并利用此结论计算下列各式:

若L[f(t)]=F(s),证明(象函数的微分性质):

特别地,，并利用此结论计算下列各式:

1)f(t)=te^-3tsin2t,求F(s).

φ(x，V)=sup{|f(s)-f(t)|：s，t∈V}， V∈τ，x∈V；

φ(x)=inf{φ(x，V)：V∈τ)，x∈V．

证明φ是上半连续的，并且f在点x连续当且仅当φ(x)=0．从而任何复函数连续点的集都是一个G_δ集．

设L[f(t)]=F(s),利用卷积定理，证明:

梯子重W、长为Ɩ，上端靠在光滑的墙上(见图a)，底端与水平面间的摩擦因数为fn。求：(1)已知梯子倾角α，为使梯子保持静止，问重为W1的人的活动范围多大? (2) 倾角 α 多大时，不论人在什么位置梯子都保持静止。

绞车卷筒及制动器的尺寸如图a所示。若闸瓦与轮缘间的摩擦因数为fa，求卷筒轴上的制动力矩M与作用在操纵杆上的力F之间的关系。

设U∈Cm×m与V∈Cn×n均是酉矩阵，证明：(UAVH)+=VA+UH．

设二维随机变量(X，Y)在矩形G={(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布，试求边长为X和y的矩形面积S的概率密度fS(s)。