证明开集的并和交仍是开集

证明：

(1)R中任意开区间是开集；

(2)Rⁿ中点X的任意邻域N(x，δ)是开集。

证明：

(1) 若F₁，F₂为闭集，则F₁∪F₂与F₁∩F₂都为闭集；

(2) 若E₁，E₂为开集，则E₁∪E₂与E₁∩E₂都为开集；

(3) 若F为闭集，E为开集，则F\E为闭集，E\F为开集．

试证明：

R²中的开集全体之基数是c．

连续, 则开集的原像是开集，即对任何开集也是开集。

试证明：

若G是Rⁿ中的开集且f(x)定义在G上，则对任意的t∈R¹，点集

H={x∈G：ω_f(x)＜r}

是开集．

设X是距离空间，F₁，F₂为X中不相交闭集。证明：存在开集G₁，G₂，使得