设X=[0，1]∪{2，3，…}，ρ（x，y)=|x-y|，其中x，y∈X，判断：

y'=(x-1)y²+(1-2x)y+x．

证明：Rⁿ空间是完备的。

设E是n维线性空间，{e₁，e₂，…，e_n}是E的一个基，

(α_ij)(i，j=1，2，…，n)

是正定矩阵，对E中的元素x=∑_i=1ⁿx_ie_i及y=∑_i=1ⁿy_ie_i，定义

(x,y)=∑_i,j=1ⁿα_ijx_iy_j，  (*)

则(·，·)是E上一个内积(注：正定矩阵的定义，请参考有关线性代数的教科书)。反之，设(·，·)是E上的一个内积，则必存在正定矩阵(α_ij)使(*)成立。