试证明： xαe-βx（α＞-1，β＞0)在（0，∞)上可积．

求下列函数的傅氏变换 (1)

，(a＞0) (2)e-ηx2，(η＞0) (3)sinηx2，cosηx2，(η＞0) (4)e-a|x|，(a＞0) (5)xe-ax2，(a＞0)

试由t=0时振子的位置x₀和速度υ₀，确定临界阻尼振动x=(A₁+A₂t)e^-βt中的待定常量A₁和A₂

设{W(t)，t≥0}时参数为σ²的维纳过程，令X(t)=e^-αtW(e^2αt)，t≥0，α＞0为常数，试求X(t)的均值函数，方差函数与自协方差函数。

设

试证明f'(x)=0有小于1的正根。

试证明：

若f∈L(E)，则有

m({x∈E:|f(x)|＞k})=0(1/k) (k→∞)．

试证明：

设f∈C⁽¹⁾([a，b])．若不存在x∈[a，b]，使得f(x)=f'(x)=0，则存在g∈C⁽¹⁾([a，b])，使得

f(x)g'(x)-f'(x)g(x)＞0(a≤x≤b)．

设f∈C⁽¹⁾([a，b])，试证明点集E是孤立点集，其中

E={x∈[a，b]：f(x)=0且f'(x)＞0)．

试证明：

设f(x)是[0，1]上正值递增函数，若有g(x)满足0≤g(x)≤[f(x)-f(y)]/(x-y)(0＜y＜x≤1)，则存在(0，1)上递减可积函数F(x)，使得g(x)≤F(x)(0＜x＜1)．

若X(t)=Acosωt+Bsinωt,0≤t≤1,A,B是服从N(0,σ²)的相互独立随机变量，ω为常数，试证明X(t)是严平稳过程。

设f(x)在[0，3]连续，在(0，3)可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．试证明必存在ξ∈(0，3)使f'(ξ)=0