题目内容
（请给出正确答案）
n维欧氏空间V的一个线性变换σ说是反对称的，如果对于任意向量a，β∈V。
证明：
(i)反对称变换关于V的任意规范正交基的矩阵都是反对称的实矩阵(满足条件AT=-A的矩阵叫作反对称矩阵);
(ii)反之，如果线性变换σ关于V的某一规范正交基的矩阵是反对称的，那么σ一定是反对称线性变换;
(iii)反对称实矩阵的特征根或都是零，或者是纯虚数。
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设e1，e2，…，en是n维欧氏空间V的一个基.证明：如果对于V中任意两个向量α=a1e1+a2e2+…+anen，β=b1e1+b2e2+…+bnen，都有
〈α，β〉=a1b1+a2b2+…+anbn(6-23)
则e1，e2，…，en是V的一个标准正交基.
设V是一个欧氏空间，α∈V是一个非零向量。对于ξ∈V，规定
证明：τ是V的一个正交变换，且τ2=t，t是单位变换。
线性变换τ叫作由向量α所决定的一个镜面反射。当V是一个n维欧氏空间时，证明存在V的一个标准正交基，使得τ关于这个基的矩阵有形状：
在三维欧氏空间里说明线性变换τ的几何意义。
欧氏空间V中的线性变换
称为反称的，如果对任意，α，β∈V，
证明：
1)
为反称的充分必要条件是，在一组标准正交基下的矩阵为反称的;
2)如果V1是反称线性变换的不变子空间，则
也是。
设α1，α2是欧氏空间V中两向量.证明：如果对任意α∈V，都有〈α1，α〉=〈α2，α〉，则α1=α2.
设V是一个n维欧氏空间。证明：
(i)如果W是V的一个子空间，那么
(ii)如果W1，W2都是V的子空间，且
(iii)如果W1，W2都是V的子空间，那么
设α，β是欧氏空间V中任意两向量，证明平行四边形定理
‖α+β‖2+‖α-β‖2=2(‖α‖2+‖β‖2)
令V=Mn(C)是复数域上全体n阶矩阵所组成的n2维向量空间，令A是任意一个n阶复矩阵。如下地定义V的一个线性变换αA：V→V：对于任意X∈V=Mn(C)，αA(X)=AX-AX。
(i)证明
，r是非负整数，由此推出，如果A是幂零矩阵，那么αA是V的幂零变换;
(ii)如果A=D+N是A的若尔当分解，其中D是A的可对角化部分，N是幂零部分，那么αD和αN分别是线性变换αA的若尔当分解。
设V是n维欧氏空间,γ是V中一非零向量,试证W=｛α∈V/(α,γ)=0｝的维数等于n-1
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证明：σ是V的一个线性变换，因而是一个正交变换。
