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[判断题]
一个复杂的高阶系统可以看成是由若干个一阶和二阶系统串联而成的。（)
提问人：网友Dym112233
发布时间：2022-01-06
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第9题
时间常数是一阶系统对输入的响应快慢的一种度量。度量一个系统响应速度的概念对高阶系统也是重
要的，本题中将研究这一概念对高阶系统的推广。
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(a)回想一下，单位冲激响应为
的一阶系统的时间常数是1/a，它是从t=0到系统阶跃响应s(t) 达到其终值
的1/e时所需的时间。利用与此定量关系相同的定义， 找出为了确定由微分方程
所描述的因果线性时不变系统的时间常数所必须解的方程式。
(b)正如从(a)中所能看到的，如果采用(a)中所给出的时间常数的精确定义，就能对一阶系统的时间常数给出一个简单的表示式。但对式(P6.49-1)的系统来说，其计算是明显地复杂化了。然而，这个系统可以的系统具有两个时间常数，它们分别对看成两个一阶系统的并联，因此通常认为式应于两个一阶因式。试问这个系统的两个时间常数是什么？
(c)在(b)中所进行的讨论可以直接推广到单位冲激响应为衰减指数函数线性组合的所有系统。在这种类型的任何系统中， 都可以找出系统的主(dominant) 时间常数， 这些主时间常数就是各时间常数中最大的。它们代表了系统响应中的最慢部分，因此对于系统作为一个整体响应有多快，它们就有支配作用。式(P6.49.1)所示系统的主时间常数是什么？将这个时间常数代入(a)中所确定的方程式，尽管这个数不能恰好满足此方程，但是接近于满足。这表明它很接近于在(a)中所定义的时间常数。因此，在(b)和(c)中所提出的方法，对于深入了解线性时不变系统的响应速度是有价值的，而且又无须进行过多的计算。
(d)主时间常数这一概念的一个重要应用是在简化线性时不变系统的阶数上。这在涉及具有几个主时间常数和另一些很小时间常数的复杂系统分析中，有很大的实际意义。为了简化待分析系统模型的复杂性，往往能够把系统的快变化部分简化掉。也就是说，假如把一个复杂系统看成一些一阶和二阶系统的并联连接，假设这些子系统中，具有单位冲激响应h(t)和阶跃响应s(t)的那一个是快速变化的，也就是说，s(t)达到它的终值s(∞)非常快，那么在此情况下，就可以用一个瞬时上升到同样终值的子系统来近似这个系统。这就是说，若
是近似阶跃响应，则
如图6-43所示。注意，该近似系统的单位冲激响应因而是
这表明近似系统是无记忆的。
再次考虑由式
所描述的因果线性时不变系统，并且特别地把它表示成在(b)中所确定的两个一阶系统的并联连接。用上面提出的方法，以无记忆系统来代替两个子系统中较快的一个。问：描述所得到的总系统的微分方程是什么？这个系统的频率响应是什么？对原系统和近似系统画出模|H(jω)|(不是log|H(jω) |) 和相位
，在什么频率范围内这两个频率响应近于相等？画出这两个系统的阶跃响应。在什么时间范围内，这两个阶跃响应近于相等？从这些曲线图中，将看到原系统与近似系统之间的某些相同与不同之处。这种近似的实用性取决于具体的应用场合。特别是，既要考虑不同的时间常数之间分散性究竟有多大，又要考虑输入信号的性质。正如从本题这一部分的答案中所看到的，近似系统的频率响应在低频域与原系统基本相同。这就是说，当系统的快变化部分与输入的波动快慢相比足够快时，近似系统就成为有用的了。
