在信号与系统的分析与综合中，离散时间方法应用的急剧增加，其原因之一就是由于对离散时间序列实

现傅里叶分析的高效算法的出现。这些方法的核心是一种与离散时间傅里叶分析关系紧密，而又非常适合于应用数字计算机或以数字硬件实现的技术， 称为有限长序列的离散傅里叶变换(DFT) 。

设x[n]是一有限长信号，即存在某一整数N，在0≤n≤N1-1以外，有

x[n]=0

另外，令x[n]的傅里叶变换是X(e^jω).现在可以构成一个周期信号x[n]，x[n]在一个周期内等于x[n]。也即，令N≥N，是一个已知的整数，并令x[n]的周期为N，使之有

x[n]的傅里叶级数系数为

选取求和区间，以便在该区间内有x[n]=x[n]，于是可得

由式(P5.53-1)定义的系数就构成了x[n]的离散时间傅里叶变换。x[n]的离散时间傅里叶变换通常记为X[k]。并定义为

离散时间傅里叶变换的重要性来自于几个原因。第一，原先的有限长信号可以从它的离散时间傅里叶变换恢复，具体而言，

因此，有限长信号既可以看成由所给的有限个非零值所表征，也能看成由它的有限个离散时间傅里叶变换值X[k] 来确定。离散时间傅里叶变换的第二个重要特点是对于它的计算有一个称为快速傅里叶变换(FFT) 的极快的算法(见习题5.54对这一极为重要方法的介绍)。同时，由于它与离散时间傅里叶级数和变换之间的密切关系，离散时间傅里叶变换本身就有一些傅里叶分析的重要特性。

(a)假设N≥N，证明

其中X[k]是x[n]的离散时间傅里叶变换。也就是说，离散时间里叶变换就相应于X(e^jω)每隔2π/N所取的样本值。式(P5.53-3)可以导出结论：x[n]能唯一地由x(e^jω)的这些样本值来表示。

(b)现在考虑每隔2π/M，M＜N.所取的X(e jω)的样本值。取得这些样本值所对应的序列就不仅是一个长度为N的序列。为了说明这一点，现考虑两个信号x1[n]和x2[n]，如图5-33所示，证明：若取M=4，则对所有的k值有