设{αn}是有界数列,在l中定义算子T:x→y,其中 x={ξn}, y={αnξn} 证明T是紧算子的充分必要条件是{αn}→0
设{αn}是有界数列,在l中定义算子T:x→y,其中
x={ξn}, y={αnξn}
证明T是紧算子的充分必要条件是{αn}→0
设{αn}是有界数列,在l中定义算子T:x→y,其中
x={ξn}, y={αnξn}
证明T是紧算子的充分必要条件是{αn}→0
(1)M是有界的;
(2)存在按照算子拓扑收敛于单位算子的紧算子序列{Tn},使得在M上一致地有
‖Tnx-x‖→0 (x∈M)
在lp(1≤P<∞)中定义算子如下:y=Tx,其中
x={ξ1,ξ2,ξ3,…}, y={ξ2,ξ3,…}
证明:ρ(T)由满足|λ|>1的一切点λ组成,T的特征值由满足|λ|<1的一切点λ组成,对于|λ|=1,λI-T是单映射。
试求下列定义于lp上的有界线性算子的伴随算子:
(1)T{x1,x2,…)={0,x1,x2,…};
(2)T{x1,x2,…}={α1x1,α2x2,…),其中{αk}是有界数列;
(3)T{x1,x2,…}={x1,x2,…,xn,0,…},其中n是给定的自然数;
(4)T{x1,x2,…}={αnxn,αn+1xn+1,…),其中{αk}(k≥n)是有界数列,n是给定的自然数。
试求下列定义于L2[0,1]上的算子之伴随算子:
(1)(Tx)(t)=∫0ts(x)ds;
(2)(Tx)(t)=α(t)x(t)(α为[0,1]上的连续函数)
在l上定义算子T如下:y=Tx,其中
x={ξn},y={ηn};η1=0,ηk=-ξk-1(k≥2)
证明:T没有特征值ρ(T)由一切满足|λ|>1的点组成,且
‖R(λ,T)‖=(λ-1)-1
设{fn}是巴拿赫空间E的对偶空间E*中的点列,则∑n=1∞|fn(x)|对每个x∈E收敛的充要条件是对每个F∈E**,
∑n=1∞|F(fn)|<∞
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