证明函数极限的唯一性、局部保号性与局部保序性。

叙述并证明:二元函数极限存在的唯一性定理,局部有界性定理与局部保号性定理.

(1)唯一性定理:若极限存在,则它只有一个极限.

(2)局部有界性定理:若则存在点P₀(a,b)的某空心邻域U°(P₀,δ),使f(x,y)在U*(P₀,δ)∩D上有界.

(3)局部保号性定理:若(或＜0).则对任意正数r(0＜r＞|A|),存在P₀(a,b)的某空心邻域U*(P₀,δ),使得对一切点P(x,y)f(x,y)＜-r＜0).

叙述并证明：二元函数极限的惟一性定理，局部有界性定理与局部保号性定理。

叙述并证明二元连续函数的局部保号性.

局部保号性:若函数f(x,y)在点(x₀,y₀)连续,而且f(x₀,y₀)≠0则函数f(x,y)在点(x₀,y₀)的某一领域 内与f(x₀,y₀)同号,则存在某一正数r(f(x₀,y₀)＞r),使得任意(x,y)∈U(P₀,δ),∣f(x,y)∣≥r＞0.

试给出函数f的例子,使f(x)＞0恒成立,而在某一点x₀处有这同极限的局部保号性矛盾吗？

叙述并证明二元连续函数的局部保号性．

二元连续函数局部保号性定理：若函数f(x，y)在P₀(x₀，y₀)处连续，且f(P₀)＞0(或＜0)，则对任何正数r＜f(P₀)(或r＜-f(P₀))，存在某邻域U(P₀)，使对一切P(x，y)∈U(P₀)，有

f(P)＞r (或f(P)＜-r)．

证明函数极限的唯一性:如果存在,那么这极限唯一.