在R4中，求由基ε1，ε2，ε3，ε4到基η1，η2，η3，η4的过渡矩阵：

1.复数域C对通常数的加法和乘法构成实数域C上的线性空间。

2.复数域C对通常数的加法和乘法构成实数域R上的线性空间。

3.C^n作为R上的线性空间。

设ε₁，ε₂，ε₃，ε₄，ε₅是五维欧氏空间V的一组标准正交基，设V₁=L(α₁，α₂，α₃)，其中α₁=ε₁+ε₅，α₂=ε₁-ε₂+ε₄，α₃=2ε₁+ε₂+ε₃，求V₁的一组标准正交基．

在R⁴中，对于通常的内积，求α与β的夹角：

在R⁴中求一单位向量，与(1，1，-1，1)^T，(1，-1，-1，1)^T，(2，1，1，3)^T都正交(内积按照通常定义)．

设R³的线性变换σ，对于基α₁=(1，0，0)^T，α₂=(1，1，0)^T，α₃=(1，1，1)^T，有

σ(α₁)=(2，3，5)^T，σ(α₂)=(1，0，0)^T，σ(α₃)=(0，1，-1)^T，求：

设α₁=(1，2)^T，α₂=(0，1)^T为R²的一组基，且β₁=(2，3)^T，β₂=(1，4)^T，证明：在R²中存在唯一的线性变换σ，使σ(α_i)=β_i(i=1，2)，并且对于α=(3，4)^T，求σ(α)．

给定R³的两组基

ε₁=(1，0，1)^T，ε₂=(2，1，0)^T，ε₃=(1，1，1)^T和

η₁=(1，2，-1)^T，η₂=(2，2，-1)^T，η₃=(2，-1，-1)^T，

定义线性变换σ(ε_i)=η_i(i=1，2，3)，

求：

在R⁴中，求由向量α₁，α₂，α₃，α₄生成的线性子空间的维数和一组基：

设η₁=(2，1，-1，1)^T，η₂=(0，3，1，0)^T，η₃=(5，3，2，1)^T，η₄=(6，6，1，3)^T是R⁴的一组基，求R4中的一个非零向量α，使α在这组基下的坐标与α在基ε₁=(1，0，0，0)^T，ε₂=(0，1，0，0)^T，ε₃=(0，0，1，0)^T，ε₄=(0，0，0，1)^T下的坐标相同．