设X为赋范线性空间,则X是Banach空间的充要条件是若使得收敛.

设X和Y是赋范空间，x≠{0}。证明若BL(X，Y)是Banach空间，则Y是Banach空间。

设X是赋范空间，Y是Banach空间。证明由从X到Y的有界线性映射组成的空间BL(X，Y)，赋有范数

‖F‖=sup{‖F(x)‖：x∈X，‖x‖≤1}， F∈BL(X，Y)

是Banach空间。证明赋范空间X的对偶空间X'是Banach空间。

设X是赋范空间。若x_n∈X且∑‖x_n‖＜∞，则称级数∑x_n是绝对收敛的。证明若X是Banach空间，则每个绝对收敛的级数都在X中收敛。

设X是Banach空间，Y是任一个赋范空间。若F：X→Y是从X到R(F)的线性同胚，且R(F)在Y中稠密，证明R(F)=Y

设X为赋范线性空间，X≠0。证明X完备的充要条件是单位球面S₁={x∈x:‖x‖=1}完备。

设(X，‖·‖)是赋范空间，X≠{θ}．证明X是Banach空间当且仅当X中的单位球面S(X)是完备的．

设X为Banach空间，Y为赋范空间，F：X→Y为线性算子。假设任取{x_n}为X中序列使得x_n→0且{F(x_n)}为柯西列，则在Y中必有F(x_n)→0。求证：F∈BL(X，Y)

设与为线性空间X上的两个等价范数，则赋范空间与具有相同的可分性.