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[主观题]
试证明： 设m（E)＜∞，{fk（x)}在E上依测度收敛于f（x)，{gk（x)}在E上依测度收敛于g（x)，则{fk（x)·gk（x)}在E上依测
试证明：
设m(E)＜∞，{fk(x)}在E上依测度收敛于f(x)，{gk(x)}在E上依测度收敛于g(x)，则{fk(x)·gk(x)}在E上依测度收敛于f(x)·g(x)．若m(E)=+∞，则结论不一定真．
提问人：网友anonymity
发布时间：2022-01-06
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第2题
试证明：
设fn(x)是[0，1]上的递增函数(n=1，2，…)，且fn(x)在[0，1]上依测度收敛于f(x)，则在f(x)的连续点x=x0上，必有
fn(x0)→f(x0)(n→∞)．
第3题
试证明：
设F(x)，fn(x)(n∈N)是R1上的可测函数，且有|fn(x)|≤F(x)，a．e．x∈R1；又对任给ε＞0，均有
m({x∈R1：F(x)＞ε})＜+∞.
若fn(x)在R1上几乎处处收敛于0，则fn(x)在R1上依测度收敛于0．
第4题
设f(x)，f1(x)，f2(x)，…，fk(x)，…是E上几乎处处有限的可...
设f(x)，f1(x)，f2(x)，…，fk(x)，…是E上几乎处处有限的可测函数，且m(E)＜∞，若在{fk(x)}的任一子列{fki(x)}中均存在几乎处处收敛于f(x)的子列{fk(x)}，试证明{fk(x)}在E上依测度收敛于f(x)．
第5题
设f(x)，fk(x)(k=1，2，…)是E上实值可测函数，若对任给ε＞0...
设f(x)，fk(x)(k=1，2，…)是E上实值可测函数，若对任给ε＞0，以及δ＞0，存在E中可测子集e以及K，使得m(E\e)＜δ，且有
|fk(x)-f(x)|＜ε (k＞K，x∈e)．
试问这是哪种意义下的收敛？
第8题
试证明：
设f(x)，fn(x)(n∈N)是(0，1)上几乎处处有限的可测函数，则存在{εn}：εn→0(n→∞)，以及(0，1)上的可测函数F(x)，使得
|fn(x)-f(x)|≤εnF(x)，a.e.x∈(0,1).
第10题
定义在(0，1]×(0，1]上的f(x，y)满足：f(x，y)是x的(y固定)可测函数，又是y在(0，1]上(x固定)的递增函数，试证明f(x，y)在(0，1]×(0，1]上可测.
