设H，K分别为群G的两个m与n阶子群．证明：若（m，n)=1，则H ∩ K={e}．

设＜ H,*＞和＜ K,*＞都是群＜ G,*＞的子群，

证明当且仅当HK=KH时＜ HK,*＞是＜ G,*＞的子群。

设(G，*)是n阶群，如果(G，*)不是循环群，证明(G，*)必有非平凡子群。

设G与G'都是群，f是群G到G'的同态映射,a∈G.

(1)证明若a的阶是有限的,则f(a)的阶也是有限的，且|f(a)|、整除|a|.

(2)如果f(a)的阶是有限的，那么a的阶一定是有限的吗？证明你的结论.

设 ＜h, °＞ 和 ＜k, °＞ 是群 ＜g, °＞ 的子群，下面那个代数系统一定是 ＜g, °＞ 的子群

A、 ＜hk, °＞ ，HK={hk| h∈H ∧ k∈K}

B、 ＜h∩k, °＞

C、 ＜h-k, °＞

D、 ＜k-h, °＞

设(G，*)是阶为6的群，试证它至多有一个阶为3的子群．(即指最大阶数的子群的阶为3)

设(S，*)和(T，*)分别是群(G，*)的s阶和t阶子群，并且S∩T和S∪T的阶分别为u和v，证明：st＞uv，．

设G是np阶群(p是素数)．证明：若n＜p，则G有p阶正规子群．