设向量组A:α1,…,αm;B:β1,…,βm;C:γ1,…,γm的秩分别为r1,r2,r3.如果γi=αi-βi(i=1,…,m),证明:r3≤r1+r2.
设向量组A:α1,…,αm;B:β1,…,βm;C:γ1,…,γm的秩分别为r1,r2,r3.如果γi=αi-βi(i=1,…,m),证明:r3≤r1+r2.
设向量组A:α1,…,αm;B:β1,…,βm;C:γ1,…,γm的秩分别为r1,r2,r3.如果γi=αi-βi(i=1,…,m),证明:r3≤r1+r2.
设n维列向量组α1,α2,…,αm(m<n)线性无关,则n维列向量组β1,β2,…,βm线性无关的充分必要条件为
(A)向量组α1,…,αm可由向量组β1,…,βm线性表示.
(B)向量组β1,…,βm可由向量组α1,…,αm线性表示.
(C)向量组α1,…,αm与向量组β1,…βm等价.
(D)矩阵A=[α1…αm]与矩阵B=[β1…βm]等价. [ ]
3-19(单项选择题) 设n维列向量组α1,α2,…,αm(m<n)线性无关,则n维列向量组β1,β2,…,βm线性无关的充分必要条件为
(A)向量组α1,…,αm可由向量组β1,…,βm线性表示.
(B)向量组β1,…,βm可由向量组α1,…,αm线性表示.
(C)向量组α1,…,αm与向量组β1,…βm等价.
(D)矩阵A=[α1…αm]与矩阵B=[β1…βm]等价. [ ]
设向量β可由向量组α1,α2,…,αm线性表示,但不能由向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αm-1线性表示.记向量组(Ⅱ):α1,…,αm-1,β,则
(A)αm不能由(Ⅰ)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示.
(B)αm不能由(Ⅰ)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示.
(C)αm可由(Ⅰ)线性表示,也可由(Ⅱ)线性表示.
(D)αm可由(Ⅰ)线性表示,但不能由(Ⅱ)线性表示. [ ]
设向量β可由向量组α1,α2,…,αm线性表示.证明:表示式惟一的充分必要条件是向量组α1,α2,…,αm线性无关.
设向量β可由向量组α1,α2,…,αm线性表示,但不能由向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αm-1线性表示.记向量组(Ⅱ):α1,…,αm-1,β,则
(A)αm不能由(Ⅰ)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示.
(B)αm不能由(Ⅰ)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示.
(C)αm可由(Ⅰ)线性表示,也可由(Ⅱ)线性表示.
(D)am可由(Ⅰ)线性表示,但不能由(Ⅱ)线性表示. [ ]
设向量α1≠0,证明:向量组α1,α2,…,αm(m≥2)线性无关每个向量αi都不能由α1,α2,…,αi-1线性表出(i=2,3,…,m).
设向量组β1,β2,…,βm(m>1)可由向量组α1,α2,…,αm线性表出为:β1=α2+α3+…+αm,β2=α1+α3+…+αm,…,βm=α1+α2+…+αm-1.证明:向量组α1,α2,…,αm的秩等于向量组β1,β2,…,βm的秩.
设α1,α2,…,αm均为n维实列向量.令矩阵
证明:A为正定矩阵的充分必要条件是向量组α1,α2,…,αm线性无关.
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