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[主观题]
令σ是数域F上向量空间V的一个线性变换，并且满足条件σ2=σ。证明：（i)Ker（σ)=（ξ-σ（ξ)|ξ∈V};（ii)V=Ker（σ)⊕Im（σ);（iii)如果τ是V的一个线性变换，那么Ker（σ)和Im（σ)都在τ之下不变的充要条件是στ=τσ。
提问人：网友yanjingjing2019
发布时间：2022-03-16
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第2题
设σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换。令∈F是σ的两两不同的本征值，Vλ是属于本征值的本
设σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换。令
∈F是σ的两两不同的本征值，Vλ是属于本征值
的本征子空间。证明，子空间的和
是直和，并在σ之下不变。
为数域K上n维线性空间V的线性变换，满足第4题
设f是数域F上有限维向量空间V上一个大退化内积。g：VxV→F是F上另一个内积，证明存在V的唯一的线性变换σ，使得对于一切α，β∈V，都有g（α，β)=f（σ（α)，β)。证明：g是非退化的当且仅当σ是非奇异线性变换。
第5题
令S是数域F上向量空间V的一些线性变换所成的集合，V的一个子空间W如果在S中每一线性变换之下不变，那么就说W是S的一个不变子空间。如果S在V中没有非平凡的不变子空间，则是不可约的。设S不可约，而φ是V的一个线性变换，它与S中每一线性变换可交换。证明φ或者是零变换，或者是可逆变换。
是F上向量空间V的一个线性变换，则下列说法错误的是
第8题
设V是数域F上一切mxn矩阵所构成的向量空间。C是一个取定的mxm矩阵，定义证明：f是V上一个双线性函
设V是数域F上一切mxn矩阵所构成的向量空间。C是一个取定的mxm矩阵，定义
证明：f是V上一个双线性函数，f是不是对称的？
第9题
数域F上n维向量空间V的一个线性变换σ叫作一个对合变换，如果σ2=t，t是单位变换，设σ是V的一个对合变换。证明：（i)σ的本征值只能是±1;（ii)V=V1⊕V-1，这里V1是σ的属于本征值1的本征子空间，V-1是σ的属于本征值-1的本征子空间。
第10题
设V是数域P上n维线性空间，σ是V的可逆线性变换，W是σ的不变子空间，证明：W也是σ－1的不变子空间.
设V是数域P上n维线性空间，σ是V的可逆线性变换，W是σ的不变子空间，证明：W也是σ-1的不变子空间.
第11题
设σ是复数域上三维向量空间V的一个线性变换，它关于V的一个基的矩阵是求出σ的若尔当分解。
设σ是复数域上三维向量空间V的一个线性变换，它关于V的一个基的矩阵是
求出σ的若尔当分解。
