设A为n阶正定矩阵，E为竹阶单位矩阵.证明：行列式|A＋E|＞1.

设A,B分别是m,n阶正定矩阵，则也是正定矩阵.

x²-y²+z²-2xy-2yz-2zx+8x+4y-4z=-4

设W=span{α₁，α₂，α₃}为R⁴的一个子空间，其中α₁=(1，2，2，-1)^T，α₂=(1，1，-5，3)^T，α₃=(3，2，8，-1)^T.求：(1) W的一个标准正交基；(2) W^⊥；(3) 向量α=(1，0，-1，1)^T在W上的正交投影.

F是一个数域,A是F上的n阶方阵,集合W={B∈Fn*n|AB=0}

证明：（1）w是Fn*n的子空间

（2)若A的秩为R,求W的维数

(1) V=R³，W={(a，a，b)^T∈R³|a，b∈R}；

(2) V=F^3×3，W为V中对称矩阵的全体所组成的集合；

(3) V=F^3×3，W为V中反对称矩阵的全体所组成的集合；

(4) V=F^3×3，W为V中上三角矩阵的全体所组成的集合；

(5) V=F^3×3，W为V中对角矩阵的全体所组成的集合；

(6) V=R[x]₂，W为V中只有一个实根的多项式全体所组成的集合；

(7) V=R[x]₄，W为V中仅有两个实根x=1和x=2的多项式全体所组成的集合；

(8) V=F^3×3，W={A∈F^n×n|tr(A)=0}，其中tr(A)为A的迹(即A的主对角线元素之和)。

已知齐次线性方程组(Ⅰ)的基础解系为α₁=(1，2，1，0)^T，α₂=(-1，1，1，1)^T；齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系为β₁=(2，-1，0，1)^T，β₂=(1，-1，3，7)^T.记方程组(Ⅰ)，(Ⅱ)的解空间分别为V₁，V₂.试求V₁∩V₂及V₁+V₂的基与维数.