设实对称矩阵A满足A2-3A+2E=O.证明：A为正定矩阵.

设Ax=b，其中A∈R^n×n为非奇异阵，证明：

  (a)A^TA为对称正定矩阵；

  (b)cond(A^TA)₂=[cond(A)₂]².

设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵，B=λE+A^TA.证明：当λ＞0时，B为正定矩阵.

证明：下列条件都是n元二次型f(x)=x^TAx半正定(实对称矩阵A半正定)的充分必要条件：

设A=(a_ij)_n×n是正定矩阵，A_k表示A左上角的k阶子方阵(k=1，2，…，n-1，并称A_k为A的k阶顺序主子阵).证明：

设A=(a_ij)_n×n，B(b_ij)_n×n均为正定矩阵.证明：矩阵C=(a_ijb_ij)_n×n也是正定矩阵.

x²-y²+z²-2xy-2yz-2zx+8x+4y-4z=-4

设W=span{α₁，α₂，α₃}为R⁴的一个子空间，其中α₁=(1，2，2，-1)^T，α₂=(1，1，-5，3)^T，α₃=(3，2，8，-1)^T.求：(1) W的一个标准正交基；(2) W^⊥；(3) 向量α=(1，0，-1，1)^T在W上的正交投影.