令Mn(F)表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间。令证明:S和T都是Mn(F)的子空间,并且M
令Mn(F)表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间。令
证明:S和T都是Mn(F)的子空间,并且Mn(F)=S+T,S∩T={O}。
令Mn(F)表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间。令
证明:S和T都是Mn(F)的子空间,并且Mn(F)=S+T,S∩T={O}。
设σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换。令∈F是σ的两两不同的本征值,Vλ是属于本征值的本征子空间。证明,子空间的和是直和,并在σ之下不变。
令M是数域F上全体n阶方阵的集合,代数运算是方阵的普通乘法,再令的代数运算是数的普通乘法,则是M到的一个同态映射,但不是一个满射。 ()
设V是数域F上一切mxn矩阵所构成的向量空间。C是一个取定的mxm矩阵,定义证明:f是V上一个双线性函数,f是不是对称的?
令V=Mn(C)是复数域上全体n阶矩阵所组成的n2维向量空间,令A是任意一个n阶复矩阵。如下地定义V的一个线性变换αA:V→V:对于任意X∈V=Mn(C),αA(X)=AX-AX。
(i)证明,r是非负整数,由此推出,如果A是幂零矩阵,那么αA是V的幂零变换;
(ii)如果A=D+N是A的若尔当分解,其中D是A的可对角化部分,N是幂零部分,那么αD和αN分别是线性变换αA的若尔当分解。
A、每个n(n>0)维线性空间V都可表示成n个一维子空间的直和。
B、n(n>0)维线性空间V的每个子空间W都有唯一的余子空间。
C、设S是数域P上全体n阶对称矩阵对于矩阵的加法和数量乘法运算作成P上的线性空间,设T是数域P上全体n阶反对称矩阵对于矩阵的加法和数量乘法运算作成P上的线性空间,则.
D、设是线性空间V的子空间,则和是直和当且仅当零向量的分解式唯一,即当时,就有。
数域K上n阶矩阵全体Mn(K)组成线性空间V,定义V上的变换:φ(x)=AXB,其中A,B是两个n阶矩阵.证明:
(1)φ是V上的线性变换.
(2)φ是线性同构的充要条件是A,B都是可逆的.
令A是数域F上一个n阶反对称矩阵,即满足条件AT=-A。
(i)A必与如下形式的一个矩阵合同:
(ii)反对称矩阵的秩一定是偶数;
(iii)F上两个n阶反对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩。
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