设函数u（x,y)在光滑闭曲线L所围成的区域D上具有二阶连续偏导数,证明

设闭区域是由分段光滑的闭曲线所围成, 函数在上有一阶连续 偏导数，则．

设D是以光滑曲线I为边界的有界闭区域,而函数u=u(x,y)在D上具有连续的二阶偏导数、记

证明:

其中表示函数u沿边界曲线I外法线方向的方向导数.

设u(x,y),v(x,y)是具有二阶连续偏导数的函数，并设

证明:

其中σ为闭曲线l所围的平面区域，为沿l外法线方向导数

设u(x,y),v(x,y)具具有二阶连续偏导数的函数,证明:

其中D为光滑闲曲线L所围的平面区域,而

是u(x,y),v(x,y)沿曲线L的外法线n方向导数.

设函数u(x,y)与v(x,y)在闭区域D上具有一阶连续偏导数，证明:其中L是D的光滑的、取正向的边界曲线.

设函数f(u,v)在R²上具有二阶连续偏导数。证明:函数

设空间区域由分片光滑的闭曲面所围成，函数在上连续，且有一阶连续偏导数，则有=其中为曲面的外侧法向量的方向余弦.

设u(x,y)、v(x,y)在闭区域D上都具有二阶连续偏导数,分段光滑的曲线L为D的正向边界曲线.证明:

其中、世分别是u、v沿L的外法线向量n的方向导数,符号称维拉普拉斯算子.

设空间区域由分片光滑的闭曲面所围成，的方向取内侧，函数在上连续，且有一阶连续偏导数，则有=

设u(x,y)与v(x,y)在闭区域D上都具有二阶连续偏导数,分段光滑的曲线L为D的正向边界曲线,证明:

其中与分别是u与v沿L的外法线向量n的方向导数,符号称二维拉普拉斯算子