设函数f(u)具有一阶连续导数,证明对任何光滑闭曲线L,有

设闭区域是由分段光滑的闭曲线所围成, 函数在上有一阶连续 偏导数，则．

设函数φ(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分

的值恒为同一常数.

(I)证明:对右半平面(x＞0)内的任意分段光滑简单闭曲线1,都有

(II)求函数φ(y)的表达式(之一).

设函数在区域内有连续的一阶偏导数，为内的简单光滑闭曲线，且在内成立，则有.

设函数f(x)在(-∞，+∞)内具有连续一阶导数，(L)是上半平面(y＞0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b)，终点为(c，d)。记I=∫(L) 1/y[1+y^2f(xy)]dx+x/y^2[y2f(xy)-1]dy

(1)证明曲线积分，的值与路径(L)无关；

(2)当ab=cd时，求I的值

设函数具有连续的导数，对于任何围绕原点的分段光滑简单闭曲线, 积分的值恒为同一个常数， 则函数为

A、

B、

C、

D、

E、

F、

G、

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

设u(x,y),v(x,y)是具有二阶连续偏导数的函数，并设

证明:

其中σ为闭曲线l所围的平面区域，为沿l外法线方向导数

若函数在闭区域上连续且有连续一阶偏导数，则有这里为区域的边界曲线，分段光滑，并取负方向。

设函数在整个空间上有一阶连续偏导数，为空间上连接和两点的光滑曲线，则有.

设是由光滑曲线所张成的光滑曲面, 函数在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则必有.