求N阶方阵的主、副对角线上元素之和。

阶行列式主对角线上元素乘积项带正号,副对角线上元素乘积项带负号。

验证：

(1)2阶方阵的全体S₁．

(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶方阵的全体S₂．

(3)2阶对称方阵的全体S₃．

对于矩阵的加法和数乘运算构成线性空间，并写出各个空间的一个基．

所谓n阶魔阵,是指其各行各列以及主对角和次对角元素之和都相等的n阶方阵，如

就是一个三阶魔阵.

(1)证明:实数域上全体n阶魔阵的集合Mn按矩阵的加法与标量乘法构成R上的一个线性空间;

(2)求M³的维数.

5. 设是主对角线上元素为1，-2，1的三阶对角方阵，为三阶方阵且， 则=__________。

证明：3阶方阵A=(a_ij)的特征多项式为

f(λ)=|λE-A|=λ³-tr(A)λ²+tr(A^*)λ-|A| (4-12)

其中A^*为A的伴随矩阵；tr(B)为方阵B的迹，即B的主对角线上所有元素之和.

设n阶方阵A的各行元素之和都为零，且r(A)=n-1，求Ax=0的通解，