设A是数域K上的n级矩阵,λ₁,λ₂,...,λ_n是A的特征多项式在复数域中的全部根。求A的伴随矩阵Aⁿ的特征多项式在复数域中的全部根。

设f(x)=a0+a1x+…+amxm是数域K上的一元多项式，设A是数域K上的n级矩阵，定义f(A)=a0I+a1A+…+amAm．显然，(A)仍是数域K上的一个n级矩阵，称，(A)是矩阵A的多项式．证明：如果A～B，则f(A)～f(B)．

(1)设A.B分别是数城K上的矩阵，证明:

(2) 设A，8分别是实数域上n阶矩阵.证明:矩阵A与矩阵B的相似关系不随数域扩大而改变.

设数域K上的n级矩阵

满足

证明:A的列向量组a₁,a₂,...,a_n的秩等于n。

设正整数v,k,λ,n满足:

v＞k＞λ＞0,n=k-λ,λ_v=k²-n

设M是元素为0或1的v级矩阵。且M的每一行恰有k个元素是1，M的每两行的内积为λ。令H=MM'。证明:

(1)H=nI+λJ，其中I是v级单位矩阵,J是元索全为1的v级矩阵；

(2)在有理数域上,H≈I;

(3)在有理数域上

(4)在有理数域上

(5)在有理数域上

数域K上n阶矩阵全体M_n(K)组成线性空间V，定义V上的变换：φ(x)=AXB，其中A，B是两个n阶矩阵．证明：

(1)φ是V上的线性变换．

(2)φ是线性同构的充要条件是A，B都是可逆的．