令σ是一个n次置换。设A=(aij)是数域F上一个nxn矩阵,定义就是对A的行作置换σ所得的矩阵。令∑≇
令σ是一个n次置换。
设A=(aij)是数域F上一个nxn矩阵,定义
就是对A的行作置换σ所得的矩阵。令∑n={σ(I)|σ∈Sn},其中I是nxn单位矩阵。证明∑n作成GL(n,F)的一个与Sn同构的子群。
令σ是一个n次置换。
设A=(aij)是数域F上一个nxn矩阵,定义
就是对A的行作置换σ所得的矩阵。令∑n={σ(I)|σ∈Sn},其中I是nxn单位矩阵。证明∑n作成GL(n,F)的一个与Sn同构的子群。
设V是数域F上一切mxn矩阵所构成的向量空间。C是一个取定的mxm矩阵,定义证明:f是V上一个双线性函数,f是不是对称的?
设f(x)=a0+a1x+…+amxm是数域K上的一元多项式,设A是数域K上的n级矩阵,定义f(A)=a0I+a1A+…+amAm.显然,(A)仍是数域K上的一个n级矩阵,称,(A)是矩阵A的多项式.证明:如果A~B,则f(A)~f(B).
令A是数域F上一个n阶反对称矩阵,即满足条件AT=-A。
(i)A必与如下形式的一个矩阵合同:
(ii)反对称矩阵的秩一定是偶数;
(iii)F上两个n阶反对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩。
设{α1,α2,···,αn}是F上n维向量空间V的一个基。A是F上一个nxs矩阵。令
证明
),定义σ(X)=AX-XA。已知σ是Mn(F)的一个线性变换。设
是一个对角矩阵。证明,σ关于Mn(F)的标准基{Eij|1≤i,j≤n}的矩阵也是对角矩阵,它的主对角线的元素是一切ai-aj(1≤i,j≤n)。
设A是复数域C上一个n阶矩阵。
(i)证明:存在C上n阶可逆矩阵T,使得
(ii)对n作数学归纳法证明,复数域C上任意一个n阶矩阵都与一个上三角形矩阵
相似,这里主对角线以下的元素都是零。
设Fn={(x1,x2,...,xn)|xi∈F)是数域F上n维行空间。定义σ(x1,x2,...,xn)=(0,x1,...,xn-1)。
(i)证明:σ是Fn的一个线性变换,且σn=θ;
(i)求Ker(σ)和Im(σ)的维数。
设V是数域F上一个有限维内积空间,配备了一个内积f,证明以下两条件等价:
(ii)f关于V的任意基的格拉姆矩阵非奇异。
满足上述条件的内积叫作非退化的。
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