设A是数域F上一个n阶矩阵。证明，存在F上一个非零多项式f（x)便得f（A)=O。

设V是数域F上一切mxn矩阵所构成的向量空间。C是一个取定的mxm矩阵，定义证明：f是V上一个双线性函数，f是不是对称的？

证明：数域F上一个次数大于零的多项式f(x)是F[x]中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件，是对于任意g(x)∈F[x]，或者(f(x)，g(x))=1，或者存在一个正整数m，使得f(x)|g^m(x)．

设V是数域F上一个有限维内积空间，配备了一个内积f，证明以下两条件等价：

(ii)f关于V的任意基的格拉姆矩阵非奇异。

满足上述条件的内积叫作非退化的。

令A是数域F上一个n阶反对称矩阵，即满足条件A^T=-A。

(i)A必与如下形式的一个矩阵合同：

(ii)反对称矩阵的秩一定是偶数;

(iii)F上两个n阶反对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩。

设f(x)=a0+a1x+…+amxm是数域K上的一元多项式，设A是数域K上的n级矩阵，定义f(A)=a0I+a1A+…+amAm．显然，(A)仍是数域K上的一个n级矩阵，称，(A)是矩阵A的多项式．证明：如果A～B，则f(A)～f(B)．

设f(x₁，x₂，…，x_n)是数域F上一个，x元齐次多项式，证明：如果g(x₁，x₂，…，x_n)=g(x₁，x₂，…，x_n)h(x₁，x₂，…，x_n)，则g，h也是，n元齐次多项式．

设n阶方阵A与B相似,证明:

(1)对任意的正整数k,都有A^k与B^k相似;

(2)对任意一个多项式矩阵多项式f(A)和f(B)相似;

(3)当A,B都是可逆矩阵时,Aⁿ和Bⁿ相似。

设A、B、F都是n阶矩阵，且A与B的特征值都是实数．证明：矩阵方程X+AXB+A²XB²=F存在唯一解．